Анализ , раздел математики, который имеет дело с непрерывными изменениями и с некоторыми общими типами процессов, которые возникли в результате изучения непрерывных изменений, таких как пределы, дифференциация и интеграция . С открытием дифференциального и интегрального исчисления по Исаака Ньютона и Лейбниц в конце 17 — го века, анализ превратился в огромный и центральной области математических исследований, с приложениями по всей науки и в таких областях, как финансы, экономика , и социология.
Математический анализ это
Часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов (см. Предел ). Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методами бесконечно малых.
Название «математический анализ» — это сокращенная версия старого названия этой части математики, «анализ бесконечно малых»; последний более полно описывает содержание, но даже является сокращением (название «анализ посредством бесконечно малых» более точно характеризует предмет). В классическом математическом анализе объектами исследования (анализа) были прежде всего функции. «Прежде всего», потому что развитие математического анализа привело к возможности изучения его методами форм более сложных, чем функции: функционалов, операторов и т. д.
Взаимозвязи
Повсюду в природе и технике можно встретить движения и процессы, которые характеризуются функциями; законы природных явлений также обычно описываются функциями. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций.
Математический анализ в широком смысле этого слова включает очень большую часть математики. Он включает:
- дифференциальное исчисление ;
- интегральное исчисление ;
- теория функций действительного переменного (ср. Функции действительного переменного, теория );
- теория функций комплексного переменного (ср. Функции комплексного переменного, теория );
- теория приближений ;
- теория обыкновенных дифференциальных уравнений (ср. Дифференциальное уравнение, обыкновенное );
- теория дифференциальных уравнений в частных производных (ср. Дифференциальные уравнения в частных производных );
- теория интегральных уравнений (ср. Интегральное уравнение );
- дифференциальная геометрия ;
- вариационное исчисление ;
- функциональный анализ ;
- гармонический анализ ;
- и некоторые другие математические дисциплины.
Современная теория чисел и теория вероятностей используют и развивают методы математического анализа.
Историческое прошлое
Преодоление разрыва между арифметикой и геометрией
Исторические истоки анализа можно найти в попытках вычислить пространственные величины, такие как длина кривой линии или площадь, ограниченная кривой. Эти проблемы могут быть сформулированы исключительно как вопросы математической техники, но они имеют гораздо более широкое значение, поскольку обладают широким разнообразием интерпретаций в физическом мире.
Например, площадь внутри кривой представляет прямой интерес для измерения земли: сколько акров содержит участок земли неправильной формы? Но этот же метод также определяет массу однородного листа материала, ограниченного некоторой выбранной кривой, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности неправильной формы.. Менее очевидно, что эти методы можно использовать для определения общего расстояния, пройденного транспортным средством, движущимся с разными скоростями, глубины, на которой корабль будет плавать, когда он будет помещен в море, или общего расхода топлива ракеты.
Математика делит явления на два широких класса: дискретный и непрерывный , исторически соответствующий разделению между арифметикой и геометрией .
Дискретные системы можно подразделить только до сих пор, и их можно описать целыми числами 0, 1, 2, 3,….
Непрерывные системы можно подразделить до бесконечности, и для их описания требуются действительные числа, числа, представленные десятичными разложениями, такими как 3,14159…, возможно, продолжающимися бесконечно. Понимание истинной природы таких бесконечных десятичных знаков лежит в основе анализа.
Открытие исчисления и поиск оснований
Два основных шага привели к созданию анализа. Первым было открытие удивительной взаимосвязи, известной как фундаментальная теорема исчисления , между пространственными задачами, включающими вычисление некоторого общего размера или значения, например длины, площади или объема (интегрирование), и проблемами, связанными со скоростями изменения, такими как наклон касательных и скоростей (дифференцирование).
Заслуга независимого открытия около 1670 г. фундаментальной теоремы исчисления вместе с изобретением методов применения этой теоремы принадлежит совместно Готфриду Вильгельму Лейбницу и Исааку Ньютону.
Функции
Математический анализ начался с определения функции Н. И. Лобачевским и П. Л. Дирихле. Если каждому числу x
из некоторого набора чисел F сопоставить по некоторому правилу число y, то это определяет функцию
y=f(x)
одной переменной x
. Функция от n
переменных,
f(x)=f(x1 dotsxn),
определяется аналогично, где x=(x1 dotsxn)
— точка n
-мерного пространства; также рассматриваются функции
f(x)= (x1,x2, dots)
точек $ x = (x _ {1}, x _ {2}, \ dots) $ некоторого бесконечномерного пространства. Однако их обычно называют функционалами.х = (Икс1,Икс2,…) некоторого бесконечномерного пространства. Однако их обычно называют функционалами.
Для студентов существует курс лекций : evkova.org/matematicheskij-analiz с прмерами решений задач по математическому анализу.
Элементарные функции.
В математическом анализе фундаментальное значение имеют элементарные функции . В основном на практике оперируют элементарными функциями, а более сложные функции аппроксимируются ими. Элементарные функции можно рассматривать не только для вещественных, но и для комплексных x ; тогда представление об этих функциях становится в некотором смысле завершенным. В связи с этим возник важный раздел математики, называемый теорией функций комплексного переменного или теорией аналитических функций.
Тогда представление об этих функциях становится в некотором смысле завершенным. В связи с этим возник важный раздел математики, называемый теорией функций комплексного переменного или теорией аналитических функций.
Действительные числа.
Концепция функции по существу основана на концепции действительного (рационального или иррационального) числа. Последняя была окончательно сформулирована только в конце XIX века. В частности, была установлена логически безупречная связь между числами и точками геометрической прямой, что дало формальную основу идеям Р. Декарта (середина 17 в.), Который ввел в математику прямоугольные системы координат и представление функций графами. .
Пределы.
В математическом анализе средство изучения функций — это предел. Различают предел последовательности и предел функции. Окончательно эти концепции были сформулированы только в XIX веке; однако идея предела изучалась древними греками. Достаточно сказать, что Архимед (3 век до н.э.) смог вычислить площадь сегмента параболы с помощью процесса, который можно было бы назвать предельным переходом.
Непрерывные функции.
Важный класс функций, изучаемый в математическом анализе, составляют непрерывные функции (ср. Непрерывная функция ). Одно из возможных определений этого понятия: функция y = f (x) переменной x из открытого интервала (a, b) называется непрерывной в точке x , еслиа также= f( х )
переменной из открытого интервала называется непрерывным в точке Х, если
LimΔx→0 Δ y= LimΔx→0 [ f( х + Δ х ) — f( х ) ] = 0 .
Функция непрерывна на открытом интервале (a, b) , если она непрерывна в каждой своей точке; тогда его график представляет собой кривую, непрерывную в обычном смысле слова.( а , б ) если он непрерывен в каждой своей точке; тогда его график представляет собой кривую, непрерывную в обычном смысле этого слова.
